బూలియన్ బీజగణితం మరియు తర్కం మరియు సమితి సిద్ధాంతం మధ్య తేడా ఏమిటి?


సమాధానం 1:

లాజిక్ అనేది అనుమితి కోసం నియమాల సూత్రీకరణ. తర్కం యొక్క అతి ముఖ్యమైన భాగం సమాచారాన్ని తీసుకునే సామర్ధ్యం మరియు దాని నుండి ఇతర సమాచారాన్ని తీసివేయడం. దీనికి మంచి ఉదాహరణ, “వర్షం పడినప్పుడు, భూమి తడిసిపోతుంది” మరియు “ఇప్పుడే వర్షం పడుతోంది” అంటే రెండు ఇప్పుడిప్పుడే భూమి తడిసిపోతోందని మీరు can హించవచ్చు.

వివిధ లాజిక్ రూపాలు ఉన్నాయి మరియు బూలియన్ లాజిక్ మరియు సెట్ థియరీ రెండు ఉదాహరణలు.

బూలియన్ లాజిక్ అనేది 2 విలువలు ఉన్నాయని uming హిస్తూ క్లాసికల్ లాజిక్ యొక్క అమలు. ఇది సత్యం అనే భావనను తప్పుడు కంటే తులనాత్మకంగా గొప్పదిగా పరిచయం చేస్తుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, “నిజం” T అయితే, “తప్పుడు” F అయితే

TFT \geq F

. అప్పుడు, మేము ముందు నుండి ప్రకటనలను విశ్లేషించవచ్చు:

  • p=It’s raining right nowp = \textsf{It's raining right now}
  • q=The ground is getting wetterq = \textsf{The ground is getting wetter}
  • pq=When it rains, the ground gets wetterp \to q = \textsf{When it rains, the ground gets wetter}

చివరి ప్రకటన:

pqp \to q

అని క్లెయిమ్ చేయడానికి సమానం

pqp \geq q

, లేదా సూచనగా, ఆ q కనీసం p వలె నిజం.

కలిసి ఉన్నప్పుడు, రెండూ తెలుసుకోవడం

pqp \to q

మరియు

pp

, అప్పుడు మాకు తెలుసు

qq

.

మేము వంటి భావనలను పరిచయం చేస్తాము:

  • pqp \wedge q
  • అంటే “p AND q”
  • pqp \vee q
  • అంటే “p OR q”
  • ¬p\neg p
  • అంటే “NOT p”

సెట్ సిద్ధాంతం సత్యానికి భిన్నమైన విధానాన్ని తీసుకుంటుంది. ఇది సభ్యత్వంపై ఆసక్తి కలిగి ఉంది. ఏదో ఒక సమితిలో సభ్యుడు, లేదా అది కాదు.

ఈ విషయంలో, మేము చేరికను సెట్ చేసాము, అంటే అది చెప్పాలి

ABA \subseteq B

A యొక్క ప్రతి మూలకం B లో చేర్చబడిందని అర్థం (కానీ తప్పనిసరిగా రివర్స్ కాదు). వ్యతిరేక దిశలో పేర్కొంది:

ABA \supseteq B

B లోని ప్రతి మూలకం A లో చేర్చబడిందని అర్థం (కానీ రివర్స్ అవసరం లేదు).

ఈ తర్కంలో చిక్కుల పాత్రకు ఇది ఉపయోగపడుతుంది. అది నాకు తెలిస్తే

A\superseteqBA \superseteq B

మరియు నా మూలకాలన్నీ ఉన్నాయి

AA

, అప్పుడు నా మూలకాలన్నీ కూడా

BB

.

ఒక మూలకం ఒక సెట్‌లో సభ్యుడని చెప్పడం ద్వారా మేము సూచిస్తాము

aAa \in A

అంటే “a అనేది A యొక్క సమితిలో సభ్యుడు”.

మానవులందరూ ఒక ఉదాహరణ

AA

మనుషులు కూడా

BB

. అప్పుడు, సోక్రటీస్ మానవులైతే (

sAs\in A

), అప్పుడు అతను కూడా మర్త్యుడు (

sB).s\in B).

అదేవిధంగా, మనకు ఇలాంటి అంశాలు ఉన్నాయి:

  • ABA \cup B
  • అంటే A మరియు B రెండింటిలో ఉన్న అన్ని మూలకాల సమితి (ఖండన)
  • ABA \cap B
  • అంటే A లేదా B లేదా రెండింటిలో (యూనియన్) ఉన్న అన్ని మూలకాల సమితి
  • Aˉ\bar{A}
  • అంటే A (పూరక) లో లేని అన్ని మూలకాల సమితి

బూలియన్ ఆల్జీబ్రాను సాంకేతికంగా పరిపూరకరమైన పంపిణీ లాటిస్ అని పిలుస్తారు, ఇది దేనికైనా ఫాన్సీ టాక్:

  • min(A,B)\min(A, B)
  • A మరియు B ల మధ్య కనీస విలువ (సాంకేతికంగా తక్కువ) ఇది బూలియన్ లాజిక్‌లో “AND”, మరియు సెట్ సిద్ధాంతంలో ఖండన.
  • max(A,B)\max(A, B)
  • A మరియు B ల మధ్య గొప్ప విలువ (సాంకేతికంగా ఆధిపత్యం) ఇది బూలియన్ లాజిక్‌లో “OR”, మరియు సెట్ సిద్ధాంతంలో యూనియన్. దీనికి విరుద్ధమైన కొన్ని భావన. ఇది బూలియన్ లాజిక్‌లో “NOT”, మరియు సెట్ సిద్ధాంతంలో పూర్తి.

వాస్తవానికి, ఈ బీజగణితం కొన్ని లక్షణాలను బూలియన్ బీజగణితం అని పిలుస్తారు.

ఈ విషయంలో, బీజగణితం అనే పదం అదనంగా-గుణకారం మరియు గుణకారం లాంటి లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది. ఒక బూలియన్ బీజగణితం దానిని తీసుకుంటుంది మరియు దానితో కొనసాగుతుంది.

మనకు తెలిస్తే బూలియన్ బీజగణితం కూడా బీజగణితాలను హేయిట్ చేస్తోంది

¬¬a=a\neg \neg a = a

, ఎందుకంటే గుణకారం ప్రకారం నిర్వచించబడే ఘాతాంక భావన వారికి ఉంది. బూలియన్ లాజిక్లో, ఇది చిక్కు. సెట్ సిద్ధాంతంలో, ఇది (కఠినమైనది కాని) సూపర్‌సెట్.

మనకు ఈ క్రింది చట్టం ఉందని దీని అర్థం:

a(bc)=(ab)ca \to (b \to c) = (a \wedge b)\to c

ఇది ఘాతాంకంతో సమానంగా ఉంటుంది:

(cb)a=c(b×a)(c^b)^a=c^{(b\times a)}


సమాధానం 2:

బూలియన్ బీజగణితం అనేది నిజం లేదా తప్పు కావచ్చు (ఇది లాంఛనప్రాయంగా చేసిన వ్యక్తి పేరు పెట్టబడింది) విషయాల గురించి నియమాల సమూహం.

తర్కం తప్పనిసరిగా తార్కికం గురించి. ఇది సొంత క్షేత్రంగా ఉన్నందున దాని గురించి ఏమి వాదించవచ్చు మరియు ఎలా అనే దాని గురించి తర్కం ఉంది. ఈ సమయంలో దాని యొక్క అనేక శాఖలు ఉన్నాయి.

సిద్ధాంతాన్ని ఆ విధంగా పదజాలం చేసినప్పుడు సెట్ చేయండి (“సమితి సిద్ధాంతానికి” విరుద్ధంగా, ఇది చాలా విషయాలను అర్ధం చేసుకోవచ్చు) సాధారణంగా జెర్మెలో-ఫ్రాంకెల్ సెట్ సిద్ధాంతాన్ని అర్థం చేసుకోవచ్చు, బహుశా అదనపు సిద్ధాంతాలతో పాటు. ఇది తక్కువ సంఖ్యలో సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించి క్రమం లేని సేకరణల (సెట్స్ అని పిలుస్తారు) గురించి తార్కికం చేసే మార్గం, మరియు ఆ సిద్ధాంతాల ఆధారంగా వివిధ రకాల సంఖ్యలు ఏవి వంటి వాటిని చేర్చడానికి విస్తరించడం.